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単振動の微分方程式を解く

• 愚直に解く $$\frac{d^{2}x}{{dt}^2}=-{\omega }^{2}x$$

  $u={\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ とおくと、

  $$\frac{d^{2}x}{{dt}^2}=\frac{du}{dt}=\frac{du}{dx}\frac{dx}{dt}=u\frac{du}{dx}$$

  微分方程式は、

  $$u\frac{du}{dx}=-{\omega }^{2}x$$

  変数分離形となっているので、両辺を $x$ で積分すると、

  $$\int u\frac{du}{dx}dx=-{\omega }^2\int xdx$$

  左辺に置換積分の関係を適用して、

  $$\int udu=-{\omega }^2\int xdx$$

  積分を行うと、

  ${\displaystyle \frac{1}{2}{u}^2}=-{\omega }^2{\displaystyle (\frac{1}{2}{x}^2)}+C_1$　(ただし、$C_1$ は積分定数)

  $$u^2=-{\omega }^2{x}^2+2C_1$$

  $u^2={\omega }^2(a^2-x^2)$　(ただし、$a={\displaystyle \sqrt{\frac{2C_1}{{\omega }^2}}}$ )

  $u={\displaystyle \frac{dx}{dt}}$ なので、元に戻すと、

  $${\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2={\omega }^2(a^2-x^2)$$ $$\frac{dx}{dt}=\pm \omega \sqrt{a^2-x^2}$$ $$\frac{1}{\omega \sqrt{a^2-x^2}}\frac{dx}{dt}=\pm 1$$

  変数分離形となっているので、両辺を $t$ で積分すると、

  $$\int \frac{1}{\omega \sqrt{a^2-x^2}}\frac{dx}{dt}dt=\pm \int dt$$

  左辺に置換積分の関係を適用して、

  $$\int \frac{1}{\omega \sqrt{a^2-x^2}}dx=\pm \int dt$$

  $x=a\sin \theta$ とおくと、

  $$\frac{dx}{d\theta }=a\cos \theta$$

  したがって、

  $$\frac{1}{\omega }\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\frac{dx}{d\theta }d\theta =\pm \int dt$$ $$\frac{1}{\omega }\int \frac{1}{\sqrt{a^2(1-{\sin }^2\theta )}}a\cos \theta d\theta =\pm \int dt$$ $$\frac{1}{\omega }\int \frac{a\cos \theta }{\sqrt{a^2{\cos }^2\theta }}d\theta =\pm \int dt$$ $$\frac{1}{\omega }\int d\theta =\pm \int dt$$

  ${\displaystyle \frac{1}{\omega }\theta =\pm t+C_2}$　(ただし、$C_2$ は積分定数)

  $$\theta =\pm \omega t+\omega C_2$$

  $x=a\sin \theta$ なので、

  $$\theta ={\sin }^{-1}\frac{x}{a}$$

  したがって、

  $${\sin }^{-1}\frac{x}{a}=\pm \omega t+\omega C_2$$

  ${\displaystyle {\sin }^{-1}\frac{x}{a}}=\pm (\omega t+b)$　(ただし、$b=\pm \omega C_2$ )

  $$\frac{x}{a}=\sin \{\pm (\omega t+b\left)\right\}$$ $$\frac{x}{a}=\pm \sin (\omega t+b)$$ $$x=\pm a\sin (\omega t+b)$$

  $A=\pm a$ , $\alpha =b$ とおくと、一般解は、

  $x=A\sin (\omega t+\alpha )$　(ただし、$A,\alpha$ は任意の定数)