● ● ● ● ● 理科あれこれ ● ● ● ● ●

$a$ は関数 $f\left(x\right)$ の定義域に含まれるとする。

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$ が存在して、その値が $f\left(a\right)$ に等しいとき、つまり、

$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$　( $\underset{x\to a-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to a+0}{\lim }f\left(x\right)$ )　のとき、

関数 $f\left(x\right)$ は $x=a$ において連続である。

区間 $I$ 内の任意の点で、関数 $f\left(x\right)$ が連続であるとき、

関数 $f\left(x\right)$ は区間 $I$ で連続である。

定義域の任意の点で、関数 $f\left(x\right)$ が連続であるとき、

関数 $f\left(x\right)$ は連続関数である。

$a$ は関数 $f\left(x\right)$ の定義域に含まれるとする。

$x=a$ における微分係数 $f^{\prime }\left(a\right)$ が存在し、有限の値をとるとき、つまり、

$f^{\prime }\left(a\right)={\displaystyle \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$ が有限の値で存在する　( ${\displaystyle \underset{h\to -0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}={\displaystyle \underset{h\to +0}{\lim }\frac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}$ )　とき、

関数 $f\left(x\right)$ は $x=a$ において微分可能である。

区間 $I$ 内の任意の点で、関数 $f\left(x\right)$ が微分可能であるとき、

関数 $f\left(x\right)$ は区間 $I$ で微分可能である。

定義域の任意の点で、関数 $f\left(x\right)$ が微分可能であるとき、

関数 $f\left(x\right)$ は微分可能な関数である。

$y=f\left(x\right)$ が微分可能であるとき、関数 $f\left(x\right)$ の導関数 $f^{\prime }\left(x\right)$ (または ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ )は、

$$f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$

$x$ の微小な変化量が $\Delta x$ のとき、$y$ の微小な変化量 $\Delta y$ は、

$\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)=f^{\prime }\left(x\right)\Delta x+o\left(\Delta x\right)$　( $o\left(\Delta x\right)$ はランダウの記号、$\Delta x\to 0$ )

$\Delta x\to 0$ の極限で、$x$ の無限小の増分を $dx$ とすると、$y$ の微分 $dy$ は、

$$dy=f^{\prime }\left(x\right)dx$$ $$dy=\frac{dy}{dx}dx$$

$y=f\left(u\right)$ , $u=g\left(x\right)$ のとき、合成関数 $y=f\left(g\left(x\right)\right)$ の導関数は、

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}$$