単振動の微分方程式

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単振動の微分方程式

単振動の微分方程式

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微分方程式

$\frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} = - ω^{2} x$ 　( $\overset{..}{x} = - ω^{2} x$ )

微分方程式の背景

質点の位置を $r$ ,質量を $m$ とする。

原点(平衡点) $r_{0}$ からの変位 $x$ の大きさに比例し、変位の向きと逆向きの力 $F$ がはたらくとき、

$x = r - r_{0}$ , $F = - k (r - r_{0}) = - k x$ 　( $k$ は比例定数)

運動方程式は、

m \frac{d^{2} r}{{d t}^{2}} = - k (r - r_{0})

m \frac{d^{2}}{{d t}^{2}} (x + r_{0}) = - k x

m \frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} = - k x

$x$ 軸の向きを、変位 $x$ の向きにとると、

m \frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} = - k x

$ω = \sqrt{\frac{k}{m}}$ とおくと、

\frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} = - ω^{2} x

微分方程式を解く

愚直に解く
長くなるので、別ページ
特性方程式から解く $\frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} = - ω^{2} x$ $\frac{d^{2} x}{{d t}^{2}} + ω^{2} x = 0$

定数係数の2階線形同次微分方程式である

特性方程式は、
$λ^{2} + ω^{2} = 0$
特性方程式を満たす $λ$ は、

$λ = \pm i ω$ 　(ただし、 $i$ は虚数単位)

一般解は、

$x = C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- i ω t}$ 　(ただし、 $C_{1}, C_{2}$ は任意の定数)
$x = C_{1} (\cos ω t + i \sin ω t) + C_{2} (\cos ω t - i \sin ω t)$ $x = (C_{1} + C_{2}) \cos ω t + i (C_{1} - C_{2}) \sin ω t$
$A = C_{1} + C_{2}$ , $B = i (C_{1} - C_{2})$ とおくと、

$x = A \cos ω t + B \sin ω t$ 　(ただし、 $A, B$ は任意の定数)
特殊解から解く

2回微分すると、関数が元に戻って符号が変わるので、

$x = \sin ω t$ , $x = \cos ω t$

が、微分方程式の特殊解

この特殊解について、ロンスキー行列式は、
$|\begin{matrix} \sin ω t & \cos ω t \\ ω \cos ω t & - ω \sin ω t \end{matrix}| = - ω \sin^{2} ω t - ω \cos^{2} ω t = - ω (\sin^{2} ω t + \cos^{2} ω t) = - ω$
$ω \neq 0$ なので、 $\sin ω t$ と $\cos ω t$ は一次独立

したがって、一般解は、基本解の重ね合わせで

$x = A \cos ω t + B \sin ω t$ 　(ただし、 $A, B$ は任意の定数)