いろいろな写像

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合成写像

二つの写像 $f : X \to Y, g : Y \to Z$ 　( $f$ の終域と $g$ の定義域が一致 )　に対して、合成写像 $g \circ f : X \to Z$
$g \circ f (x) = g (f (x)) (x \in X)$
写像の反復合成

写像 $f : X \to X$ ( 定義域と終域が一致 )　について、写像の反復合成 $f^{n}$
$f^{0} = {id}_{X}, f^{n + 1} = f \circ f^{n} (n \geq 0)$ $f^{m + n} = f^{m} \circ f^{n}$ $f^{n} = \underset{\underset{n 個}{⏟}}{f \circ f \circ \dots \circ f}$
合成写像の性質

三つの写像 $f : X \to Y, g : Y \to Z, h : Z \to W$ に対して、結合法則が成り立つ
$h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$

$f : X \to Y, g : Y \to Z$ とする

$f$ と $g$ がともに単射ならば、 $g \circ f$ は単射である

$f$ と $g$ がともに全射ならば、 $g \circ f$ は全射である

$f$ と $g$ がともに全単射ならば、 $g \circ f$ は全単射である

$g \circ f$ が単射ならば、 $f$ は単射である ( $g$ が単射とは限らない)

$g \circ f$ が全射ならば、 $g$ は全射である ( $f$ が全射とは限らない)

$g \circ f$ が単射、 $f$ が全射ならば、 $g$ は単射である

$g \circ f$ が全射、 $g$ が単射ならば、 $f$ は全射である

$g \circ f$ が全単射ならば、 $f$ が単射かつ $g$ が全射である

包含写像

集合 $X, Y$ について、 $X \subseteq Y$ のとき、 $X$ から $Y$ への包含写像 $i : X \to Y$ 　( $x \in X$ に対して $x \in Y$ )
$i (x) = x (x \in X)$
包含写像は単射である
恒等写像

集合 $X$ について、 $X$ 上の恒等写像 ${id}_{X} : X \to X$ 　( 包含写像 $i : X \to Y, i (x) = x$ において、 $Y = X$ )
${id}_{X} (x) = x (x \in X)$
恒等写像は全単射である

写像 $f : X \to Y$ , 恒等写像 ${id}_{X} : X \to X, {id}_{Y} : Y \to Y$ とする
$f \circ {id}_{X} = f, {id}_{Y} \circ f = f$

逆写像
写像 $f : X \to Y$ が全単射であるとき、任意の $y \in Y$ に対して $f (x) = y$ となる $x \in X$ が一意的に存在する

写像 $f : X \to Y$ が全単射であるとき、 $f$ の逆写像 $f^{-1}$

$f^{-1} : Y \to X, f^{-1} (y)$ は $f (x) = y (y \in Y)$ を満たす $x \in X$

$f^{-1}$ の定義域 $= f$ の値域 , $f^{-1}$ の値域 $= f$ の定義域　( $f, f^{-1}$ は全射のため、終域と値域は一致 )
逆写像の性質
写像 $f : X \to Y$ は全単射とする

逆写像を $f^{-1} : Y \to X$ 、恒等写像を ${id}_{X} : X \to X, {id}_{Y} : Y \to Y$ とすると、
$f^{-1} \circ f = {id}_{X}, f \circ f^{-1} = {id}_{Y}$

逆写像 $f^{-1} : Y \to X$ は全単射であり、
${(f^{-1})}^{-1} = f$

二つの写像 $f : X \to Y, g : Y \to X$ が $g \circ f = {id}_{X}, f \circ g = {id}_{Y}$ を満たすならば、 $f$ と $g$ は全単射で、
$f^{-1} = g, g^{-1} = f$
合成写像の逆写像

二つの写像 $f : X \to Y, g : Y \to Z$ がともに全単射であるとき、合成写像 $g \circ f$ も全単射
${(g \circ f)}^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$

線形写像

$V, W$ を $F$ 上の線形空間とするとき、線形写像 $f : V \to W$
$f (x + y) = f (x) + f (y) (x, y \in V)$ $f (k x) = k f (x) (k \in F, x \in V)$

定値写像

$X, Y$ を集合とする。 $Y$ は空でない集合とし、 $c \in Y$ のとき、定値写像 $f : X \to Y$
$f (x) = c (x \in X)$

定義関数

$X$ を空でない集合とし、 $A \subseteq X$ のとき、定義関数 $χ_{A} : X \to R$ 　( $R$ は実数全体の集合)
$χ_{A} (x) = {\begin{cases} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \in X \ A) \end{cases}$
定義関数と積分

$f : R \to R$ を積分可能な関数とし、 $A \subseteq R$ のとき、
$\int_{R} f (x) χ_{A} (x) d x = \int_{A} f (x) d x$

集合 $A \subseteq R^{2}$ が面積確定であるとき、 $A$ の面積は、
$\iint_{R^{2}} χ_{A} (x, y) d x d y = \iint_{A} d x d y$