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定数係数の2階線形同次微分方程式

• 微分方程式

  ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{{dx}^2}+a\frac{dy}{dx}+by}=0$　( $a,b$ は定数)

• 特性方程式

  微分方程式の解として $y=e^{\lambda x}$ ( $\lambda$ は複素数) を仮定し、微分方程式に代入して $\lambda$ を求める

  $${\lambda }^2{e}^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+b{e}^{\lambda x}=0$$ $$({\lambda }^2+a\lambda +b)e^{\lambda x}=0$$

  ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ を満たす $\lambda$ を ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ (重解ではないとする ${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ )とすると、

  $y=e^{{\lambda }_{1}x}$ , $y=e^{{\lambda }_{2}x}$

  は微分方程式の解となる

  ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ を特性方程式、${\lambda }_1,{\lambda }_2$ を特性根

  $y=e^{{\lambda }_{1}x}$ , $y=e^{{\lambda }_{2}x}$ に対して、ロンスキー行列式は、${\lambda }_1\ne {\lambda }_2$ としているので、

  $$\left|\begin{array}{cc}{e}^{{\lambda }_{1}x}& e^{{\lambda }_{2}x}\\ {\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}x}& {\lambda }_2{e}^{{\lambda }_{2}x}\end{array}\right|=e^{{\lambda }_{1}x}{\lambda }_2{e}^{{\lambda }_{2}x}-e^{{\lambda }_{2}x}{\lambda }_1{e}^{{\lambda }_{1}x}=({\lambda }_2-{\lambda }_1)e^{{\lambda }_{1}x+{\lambda }_{2}x}\ne 0$$

  したがって、$y=e^{{\lambda }_{1}x}$ と $y=e^{{\lambda }_{2}x}$ は一次独立であり、基本解となる

  一般解は、

  $y=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$　(ただし、$C_1,C_2$ は任意の定数)