微分方程式の基礎

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関数 $y (x)$ とその $n$ 次導関数 $y^{(n)}$ について、

P_{n} (x) y^{(n)} + P_{n - 1} (x) y^{(n - 1)} + \dots + P_{1} (x) y^{'} + P_{0} (x) y = Q (x)

$Q (x) = 0$ のとき、線形同次微分方程式

$Q (x) \neq 0$ のとき、線形非同次微分方程式

$P_{i} (x)$ ( $i = 0, 1, \dots, n - 1, n$ )がすべて定数のとき、定数係数線形微分方程式

線形同次微分方程式について、 $f_{1} (x), f_{2} (x)$ が解なら、

$C_{1} f_{1} (x) + C_{2} f_{2} (x)$ 　(ただし、 $C_{1}, C_{2}$ は任意の定数)

も解となる

$n$ 個の関数 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)$ について、どんな $x$ についても

C_{1} f_{1} (x) + C_{2} f_{2} (x) + \dots + C_{n} f_{n} (x) = 0

が成り立つのは、

C_{1} = C_{2} = \dots = C_{n} = 0

の場合に限るとき、 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)$ は一次独立

$f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)$ が $n$ 階線形同次微分方程式の $n$ 個の一次独立な解であるとき、これらの解を基本解といい、一般解は、

$C_{1} f_{1} (x) + C_{2} f_{2} (x) + \dots + C_{n} f_{n} (x)$ 　(ただし、 $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ は任意の定数)

$n - 1$ 回微分可能な $n$ 個の関数 $f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)$ に対して、ロンスキー行列式(ロンスキアン)は、

W (f_{1} f_{2} \dots f_{n}) = |\begin{matrix} f_{1} (x) & f_{2} (x) & \dots & f_{n} (x) \\ f_{1}^{'} (x) & f_{2}^{'} (x) & \dots & f_{n}^{'} (x) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f_{1}^{(n - 1)} (x) & f_{2}^{(n - 1)} (x) & \dots & f_{n}^{(n - 1)} (x) \end{matrix}|

ロンスキー行列式について、

$W (f_{1} f_{2} \dots f_{n}) \neq 0 \Leftrightarrow f_{1} (x), f_{2} (x), \dots, f_{n} (x)$ は一次独立